Autovalori

Autovalori, in algebra lineare, sono i valori scalari λ per cui esiste un vettore non nullo v soddisfacente Av = λv, dove A è una matrice quadrata. In altre parole, λ è autovalore di A se la trasformazione lineare rappresentata da A allinea l’autovettore v a un multiplo di se stesso. Una condizione equivalente è det(A − λI) = 0, cioè λ è una radice del polinomio caratteristico p_A(λ) = det(A − λI).

Per ogni autovalore λ, gli autovettori associati formano lo spazio nullo di (A − λI). La molteplicità algebrica di λ è la molteplicità di λ come radice di p_A, mentre la molteplicità geometrica è la dimensione dello spazio degli autovettori associati. In generale, geometric ≤ algebraic; se per ogni λ la somma delle molteplicità geometriche è uguale all’ordine di A, la matrice è diagonalizzabile.

Il teorema spettrale stabilisce che per una matrice reale simmetrica esiste una decomposizione A = QΛQ^T con Q ortogonale e Λ diagonale; gli autovalori di A sono reali e gli autovettori associati sono ortonormali. Per matrici non simmetriche esistono decomposizioni simili complesse più generali.

A livello computazionale, gli autovalori si determinano calcolando il polinomio caratteristico o utilizzando metodi numerici: algoritmo QR, metodo della potenza per autovalore dominante, inverse iteration e tecniche di deflation.

Nelle applicazioni, gli autovalori forniscono informazioni su stabilità di sistemi dinamici, vibrazioni, PCA in analisi dei dati, risoluzione di sistemi differenziali lineari e modelli di reti.

Esempio: A = [[2,1],[0,3]] ha autovalori λ1 = 2 e λ2 = 3, con autovettori rispettivamente [1,0]^T e [1,1]^T.