autovettori

Un autovettore è un vettore non nullo v tale che T(v) = λ v per uno scalare λ, chiamato autovalore. Quando T è rappresentata da una matrice A, questa relazione diventa Av = λv. Gli autovalori si ottengono risolvendo det(A − λI) = 0; i corrispondenti autovettori sono le soluzioni del sistema (A − λI)x = 0 e formano l’ortocamera detta sottospazio proprio Eλ = ker(A − λI).

La dimensione di Eλ è la molteplicità geometrica di λ; la molteplicità algèbrica è la molteplicità di λ come radice del polinomio caratteristico. Una matrice è diagonalizzabile se esiste una base formata da autovettori; equivalentemente, la somma delle molteplicità geometriche degli autovalori è pari a n, la dimensione dello spazio. In tal caso A è simile a una matrice diagonale con gli autovalori sulla diagonale. Se non è diagonalizzabile, si ricorre alla forma di Jordan per descrivere la matrice.

Le matrici reali possono avere autovalori reali e autovettori corrispondenti o autovalori complessi; gli autovalori complessi di una matrice reale appaiono in coppie coniugate e gli autovettori corrispondenti sono complessi.

La scala degli autovettori non è unica: gli autovettori possono essere moltiplicati per uno scalare diverso da zero. Normalizzarli è comune per comodità in alcune applicazioni.

Applicazioni: gli autovettori rivelano invarianti dell’operatore, come direzioni che restano invariate, e la diagonalizzazione semplifica il calcolo di potenze della matrice e la risoluzione di sistemi differenziali lineari. Sono impiegati in analisi delle componenti principali, stabilità, catene di Markov, modalità di vibrazione e meccanica quantistica.