Ausgleichungsrechnung

Ausgleichungsrechnung ist in der Geodäsie, Kartographie und angrenzenden Bereichen das zentrale statistische Optimierungsverfahren zur Schätzung unbekannter Größen aus redundanten, verrauschten Messungen. Ziel ist es, aus einer Vielzahl von Messwerten eine konsistente und bestmögliche Bestimmung von Koordinaten, Abständen oder anderen Parametern zu gewinnen, die unter Berücksichtigung der Messunsicherheit die kleinsten quadrierten Residuen erzeugen.

Das Modell beruht auf einem Beobachtungsintegral y = A x + e, wobei y der Vektor gemessener Größen, x der Vektor unbekannter Parameter (z. B. Punktkoordinaten) und e der Zufallsfehler ist. Die Designmatrix A verknüpft die Parameter mit den Beobachtungen. Bei nichtlinearen Messungen wird rund um Anfangswerte x0 linearisiert, sodass sich ein lineares Ausgleichungsproblem ergibt, das iterativ gelöst wird, bis Konvergenz erreicht ist.

Die Lösung erfolgt als gewichtetes kleinste-Quadrate-Problem. Mit der Gewichtungsmatrix P, oft die Inverse der Beobachtungskovarianz, ergeben die Normalgleichungen (A^T P A) x = A^T P y die Schätzung x̂. Die Residuen v = y − A x̂ geben Aufschluss über die Anpassungsgüte. Zur Bewertung wird häufig der chi-Quadrat-Test verwendet, und der a posteriori Varianzschätzer σ0^2 = (v^T P v)/(n − u) berechnet, wobei n die Anzahl der Beobachtungen und u die Anzahl der unbekannten Parameter ist. Die Kovarianzmatrix der Schätzung lautet Cov(x̂) = σ0^2 (A^T P A)^{-1}.

Zusatzinformationen umfassen die Einbeziehung a priori gegebener Werte oder Gleichungen durch Nebenbedingungen, sowie Qualitätskontrollen wie Ausreißeruntersuchung und Netzstabilisierung. Anwendungsbeispiele reichen von Netzberechnungen in der Vermessung bis zur Verbesserung kartografischer und geodätischer Referenzsysteme.