Anwendungsmengen

Anwendungsmengen ist ein Begriff aus der Mathematik, der in der Regel die Bildmengen beschreibt, die entstehen, wenn eine Abbildung auf eine Teilmenge ihres Definitionsbereichs angewendet wird. Der Ausdruck wird in einigen Texten als Synonym für die Bildmenge einer Teilmenge verwendet. Der allgemein gebräuchlichere Begriff dafür ist Bild oder Bildmenge.

Formal sei f: X → Y eine Abbildung zwischen Mengen X und Y. Für eine Teilmenge A ⊆ X ist die Anwendungsmenge f[A] = { f(a) | a ∈ A } ⊆ Y. Die Gesamtheit aller Bilder eines Funktionenbildes heißt das Bild von f, f[X] ⊆ Y, oft auch als Wertebereich oder Bildbereich bezeichnet.

Beispiele: Sei f(x) = x^2 mit X = ℝ. Dann gilt f[{−1,0,1}] = {1,0,1} = {0,1}. Für A = ℕ ist f[A] = {0,1,4,9,16,...}. Ist A leer, ist f[A] = ∅.

Eigenschaften: Anwendungsmengen erfüllen f[A ∪ B] = f[A] ∪ f[B] und f[A ∩ B] ⊆ f[A] ∩ f[B]; die zweite Inklusion kann streng sein, wenn f nicht injektiv ist. Die Gesamtheit f[X] ist der Bildbereich; ist f auf Y surjektiv, dann entspricht der Bildbereich ganz Y.

Verwandt ist der Begriff Urbild oder präimage: Für B ⊆ Y ist das Urbild f⁻¹[B] = { x ∈ X | f(x) ∈ B } die Menge der Eingaben, die auf B abgebildet werden. Anwendungsmengen dienen der Analyse von Funktionen auf Teilmengen und treten in Analysis, Algebra sowie Diskreter Mathematik auf.