Abtastgitter

Abtastgitter, auch Sampling lattice genannt, bezeichnet ein regelmäßiges Netz von Abtastpunkten, das verwendet wird, um ein kontinuierliches Signal oder eine Funktion in eine diskrete Form zu überführen. In einem d-dimensionalen Raum besteht ein Abtastgitter typischerweise aus allen Punkten der Form G = {A k : k ∈ Z^d}, wobei A eine invertierbare d×d-Matrix ist, die Abstände und Orientierung des Gitters festlegt. Im eindimensionalen Fall entspricht das Gitter t_n = nT mit dem Abtastabstand T > 0.

Das Abtastgitter ist eng mit der Theorie der Abtastung verbunden. Nach dem Abtasttheorem von Shannon ist eine zeitlich bandbegrenzte Funktion f mit maximaler Frequenz B dann rekonstruierbar aus ihren Abtastwerten, wenn die Abtastrate mindestens 2B beträgt. In höheren Dimensionen gilt eine entsprechende Bedingung pro Dimension; die genaue Rekonstruktion hängt von der Anordnung des Gitters und von geeigneten Interpolations- oder Rekonstruktionsfiltern ab. Ein regelmäßiges Gitter erleichtert die digitale Verarbeitung, während nicht regelmäßige, irreguläre Abtastungen andere Techniken erfordern.

Typen von Abtastgittern finden sich in verschiedenen Dimensionen. In 2D sind gängige Beispiele das quadratische (rechteckige) Gitter und das hexagonale Gitter, wobei jedes eine unterschiedliche Abtastrate und Aliasing-Verhalten aufweist. In höheren Dimensionen lässt sich das Gitter durch unterschiedliche Basisvektoren definieren, wodurch Skalierung, Orientierung und regelmäßige Abstände angepasst werden.

Anwendungen liegen in der digitalen Signalverarbeitung, Bild- und Videoverarbeitung, numerischen Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen (z. B. Finite-Differenzen-Methoden), Finite-Elemente-Verfahren und der allgemeinen Datenerfassung. Ein Abtastgitter bildet somit den fundamentalen Baustein für die Diskretisierung kontinuierlicher Größen.