Abelsierung

Abelsierung, in der Gruppentheorie, bezeichnet die Abelsierung einer Gruppe G, also den Quotienten G/[G,G], wobei [G,G] die Kommutatorgruppe ist, die von allen Kommutatoren [g,h] = g^{-1}h^{-1}gh erzeugt wird. Die Quotientengruppe Ab(G) ist abelsch, und q:G -> Ab(G) ist die natürliche Quotientenabbildung mit Kerne [G,G]. Die Abelsierung hat eine universelle Eigenschaft: Jede Gruppenhomomorphismus φ von G in eine abelsche Gruppe A faktorisiert eindeutig durch q, das heißt es existiert genau eine Abbildung φ̄: Ab(G) -> A mit φ = φ̄ ∘ q. Folglich ist Ab(G) der größte abelsche Quotient von G.

Wichtige Beispiele: Für jede freie Gruppe F_n gilt Ab(F_n) ≅ Z^n. Ist G selbst abelsch, dann ist Ab(G) ≅ G. Bei der symmetrischen Gruppe S_3 ist [S_3,S_3] = A_3, und Ab(S_3) ≅ S_3/A_3 ≅ Z/2Z.

Verknüpfungen: Die Abelsierung erfüllt die Eigenschaft, dass H_1(G; Z) ≅ Ab(G). In der Kategorientheorie ist Ab(G) der linke Adjunkt der Inklusion der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie der Gruppen. Abelsierung dient der Messung der Nicht-Abelsamkeit einer Gruppe: Der Faktor G/[G,G] fasst alle Nicht-Commutativitäts-Eigenschaften zusammen.

Anwendungen finden sich in Algebra, Topologie und Homologer Algebra, insbesondere zur Berechnung von abelschen Invarianten von Gruppen und Topologien durch die Fundamentale Gruppe.