Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation R auf einer Menge A ist eine binäre Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Das heißt: Für alle a ∈ A gilt aRa; wenn aRb, dann bRa; und wenn aRb und bRc, dann aRc.

Für jedes a ∈ A ist [a] = { x ∈ A | xRa } die Äquivalenzklasse von a. Die Menge A/R = { [a] : a ∈ A } wird als Quotientenmenge oder als Menge der Klassen bezeichnet. Diese teilt A in disjunkte Klassen, so dass A = ⋃_[a] und [a] ∩ [b] = ∅ oder [a] = [b].

Beispiele: Die Gleichheit auf A ist eine Äquivalenzrelation. Die Kongruenzrelation modulo n auf den ganzen Zahlen definiert durch a ≡ b (mod n) genau dann, wenn n | (a−b), teilt Z in Klassen gleicher Restklasse.

Eigenschaften: Jedes Element von A gehört zu genau einer Äquivalenzklasse. Umgekehrt bestimmt eine Partition von A genau eine Äquivalenzrelation, wobei aRb gilt, wenn a und b in derselben Teilmenge der Partition liegen.

Anwendungen: Äquivalenzrelationen dienen der Klassifikation von Objekten, der Bildung von Quotientenstrukturen in Algebra und Geometrie, der Modulararithmetik sowie in Logik und Topologie zur Strukturierung von Mengen durch identische Eigenschaften.