wymiernymi

Wymierne, czyli liczby wymierne, to liczby, które można zapisać jako iloraz dwóch całkowitych a i b, przy czym b ≠ 0. Zbiór liczb wymiernych oznacza się często literą Q. W przeciwieństwie do liczb niewymiernych, wymierne mają reprezentację w postaci ułamka i w praktyce obejmują zarówno liczby całkowite, ułamki zwykłe, jak i liczby ujemne.

Każdy wymierny można zapisać w postaci ułamka a/b, gdzie a i b są całkowite i gcd(a,b)=1 (często dąży się do zapisu w najprostszej postaci). Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest skończone lub okresowe; odwrotnie, liczba dziesiętna skończona lub okresowa odpowiada liczbom wymiernym.

Liczby wymierne tworzą ciało pod działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia (dzielenie przez zero niedozwolone). Zawierają liczby całkowite jako przypadki, gdy licznik a jest równy całkowitej wartości większej od zera i mianownik b wynosi 1. W praktyce oznacza to, że Q jest najmniejszym ciałem zawierającym wszystkie liczby całkowite i zamykającym to działanie.

Wymierne są gęste w zbiorze liczb rzeczywistych: między dowolnymi dwoma liczbami rzeczywistymi znajdzie się co najmniej jedna liczba wymierna. Są także przeliczalne, w przeciwieństwie do liczby rzeczywistej, która jest nieskończenie nieprzeliczalna. Dzięki temu Q odgrywa kluczową rolę w teorii liczb, analizie i pierwszych podstawach algebry.