wahrheitsfunktionsfähig

Wahrheitsfunktionen, in der Logik oft als wahrheitsfunktionen oder funktionale Wahrheitswerte bezeichnet, bestimmen den Wahrheitswert eines zusammengesetzten Satzes aus den Wahrheitswerten seiner Teilsätze. Formal ist sie eine Abbildung F: {wahr, falsch}^n → {wahr, falsch}, wobei n die Anzahl der Argumente angibt. Jede logische Verknüpfung definiert eine solche Funktion; Beispiele sind Negation (NOT) mit n = 1, Und (AND) mit n = 2, Oder (OR) mit n = 2 und Implikation (A → B). Die Zuordnungen ergeben sich aus den jeweiligen Wahrheitstabellen. Allgemein lassen sich beliebige boolesche Funktionen durch entsprechende Wahrheitstabellen darstellen.

Wahrheitsfunktionen bilden die Grundlage der propositionalen Logik, der Booleschen Algebra und der digitalen Schaltungstechnik. Sie ermöglichen es, die semantische Struktur von Aussagen zu analysieren und zu formalisieren. Eine Menge von Wahrheitsfunktionen heißt funktional vollständig, wenn sie jede boolesche Funktion ausdrücken kann; NAND (NOT AND) und NOR (NOT OR) sind klassische Beispiele dafür. Mit funktional vollständigen Mengen lassen sich beliebige logische Funktionen konstruieren, was eine zentrale Rolle bei der Entwicklung von digitalen Schaltungen und bei der formalen Verifikation von Programmen spielt.

Historisch spielten Wahrheitsfunktionen eine zentrale Rolle bei der Entwicklung der Aussagenlogik und der Semantik. Frühe Logiker wie Frege legten Grundlagen, während im 20. Jahrhundert formale Semantik, Beweistheorie und die Theorie der Wahrheitstabellen diese Konzepte präzisierten. Heute bleiben Wahrheitsfunktionen ein zentrales Werkzeug in Logik, Informatik und Mathematik.