voorafbeeldingssituaties

Voorafbeelding, ook wel inverse afbeelding genoemd, is een concept uit de wiskunde. Gegeven een functie f van een verzameling X naar een verzameling Y en een subset A van Y, is de voorafbeelding f^{-1}(A) de verzameling van alle elementen x in X waarvoor f(x) in A geldt. Met andere woorden f^{-1}(A) = { x ∈ X | f(x) ∈ A }. De voorafbeelding bestaat voor elke functie en elke A; invertibiliteit van de functie is niet vereist.

Eigenschappen van de voorafbeelding zijn onder meer: f^{-1}(A ∪ B) = f^{-1}(A) ∪ f^{-1}(B); f^{-1}(A ∩ B) = f^{-1}(A) ∩ f^{-1}(B); en f^{-1}(Y \ A) = X \ f^{-1}(A). Voor een enkelpunt y ∈ Y wordt f^{-1}({y}) wel de vezel over y genoemd. Deze vezels geven inzicht in welke invoerwaarden naar een bepaald doel in het codomein leiden.

Relatie tot topologie en analyse: als X en Y topologische ruimtes zijn en f continu is, dan is de voorafbeelding van elke open verzameling open. Evenzo geldt dat de voorafbeelding van meetbare verzamelingen meetbaar is bij een meetbare functie, wat essentieel is in maattheorie en waarschijnlijkheid.

Voorbeelden: laat f: R → R zijn met f(x) = x^2. Voor A = [1,4] geldt f^{-1}(A) = [-2,-1] ∪ [1,2]. Een constante functie f(x) = c heeft f^{-1}(B) gelijk aan X als c ∈ B en leeg als c ∉ B. De voorafbeelding is daarom een fundamenteel hulpmiddel bij het bestuderen van functies en hun interactie met subsets van het codomein.