vektorübertragen

Vektorübertragen bezeichnet allgemein das Überführen eines Vektors von einem Darstellungskontext in einen anderen, etwa von einer Koordinatenbasis in eine andere, von einem Koordinatensystem in ein anderes oder entlang einer Kurve in einer Mannigfaltigkeit. Der Begriff wird in verschiedenen Gebieten verwendet, darunter lineare Algebra, Differentialgeometrie und Computergrafik, wobei je nach Kontext unterschiedliche mathematische Strukturen erhalten bleiben sollen.

Im linearen Algebraischen Kontext beschreibt Vektorübertragen meist den Basiswechsel. Sind B und B' zwei Basen eines Vektorraums V, so stehen die Koordinaten eines Vektors v in B und in B' zueinander. Die Koordinaten in der neuen Basis lassen sich durch v_B' = P v_B ausdrücken, wobei P die Change-of-Basis-Matrix ist und invertierbar ist. Ist P orthogonal, werden Länge und Winkel des Vektors bewahrt.

In der Differentialgeometrie bezeichnet Vektorübertragen oft den Paralleltransport eines Vektors entlang einer Kurve. Dabei bleibt die Richtung des Vektors so stabil wie möglich bezogen auf die Verbindung, und die Länge kann je nach Metrik erhalten bleiben. Paralleler Transport spielt eine zentrale Rolle bei der Definition von Krümmung und Zusammenhang zwischen lokalen Koordinatensystemen.

In der Computergrafik dienen Vektortransformationen der Übertragung von Vektoren zwischen Koordinatensystemen oder Modellräumen. Typische Operationen sind Rotation, Skalierung und Translation, oft als affine Transformationen implementiert. Verwendung finden auch Homogene Koordinaten, die Zusammensetzungen von Transformationen erleichtern.

Beispiele: In zwei Dimensionen rotieren Vektoren um den Ursprung mit der Matrix [[cosθ, -sinθ], [sinθ, cosθ]]. In drei Dimensionen erfolgen Transformationen häufig durch 3x3- oder 4x4-Matrizen. Siehe auch Koordinatentransformation, Paralleltransport, Transformationsmatrix.