transitividad

Transitividad es una propiedad de una relación binaria R en un conjunto X. Se dice que R es transitiva si, para todos a, b y c en X, si aRb y bRc, entonces aRc. Esta propiedad es crucial para las estructuras ordenadas y para la lógica, y se estudia junto a la reflexividad y la simetría. Una relación puede ser transitiva sin ser reflexiva ni simétrica.

Ejemplos: la relación ≤ en los números reales es transitiva: si a ≤ b y b ≤ c, entonces a ≤ c. La relación de subconjunto ⊆ entre conjuntos es transitiva: si A ⊆ B y B ⊆ C, entonces A ⊆ C. La divisibilidad | entre enteros positivos es transitiva: si a | b y b | c, entonces a | c.

Ejemplos no transitivos: la relación "es amigo de" suele no ser transitiva; si A es amigo de B y B es amigo de C, no necesariamente A es amigo de C.

Propiedades y usos: en teoría de órdenes, una relación que es reflexiva, antisymmetric y transitiva es un orden. En lógica, la transitividad de la implicación (si P→Q y Q→R, entonces P→R) es un principio aceptado en la lógica clásica. El cierre transitivo de una relación R es la menor relación transitiva que contiene a R; se obtiene añadiendo pares (a,c) para los que existen b con aRb y bRc.