todennäköisyysalueen

Todennäköisyysalue (eli probability space) on matematiikassa käytetty malli epävarmuuden ja sattumanvaraisuutta kuvaavien kokeiden analysointiin. Se on kolminaisuus (Ω, F, P), jossa Ω on näytetila eli kaikkien mahdollisten tulosten joukko. F on σ-algebra Ω:sta, eli joukko tapahtumia (alijoukko Ω:sta), jotka sisältävät tyhjän joukon ja Ω:n sekä ovat suljettuja täydennetyille yhteenliittymille ja komplementaatioille. P on todennäköisyysmitta, P: F → [0,1], jolla P(Ω)=1 ja joka on laskettavasti additiivinen: jos E1,E2,... ovat disjunktit tapahtumat F:ssä, niin P(∪i Ei) = Σi P(Ei).

Todennäköisyysalueen tarkoitus on tarjota muodollinen kehyksessä, jolla mallinnetaan kokeista saatavaa epävarmuutta. Käytännössä voidaan käyttää sekä diskreettiä että jatkuvaa mallia. Diskreetissä mallissa Ω koostuu kaikkien mahdollisten tulosten luettelosta ja F on usein Ω:n kaikista osajoukoista muodostettu σ-algebra, jolloin todennäköisyydet määritellään yksittäisille tuloksille tai niiden joukkoille. Jatkuvassa mallissa Ω voi olla esimerkiksi inter tai koko reaalilukujen pisteavaruus, F voi olla Borel-σ-algebra ja P voi olla esimerkiksi Lebesguein kaltainen mitta, jolloin tapahtuma-alueiden todennäköisyydet määräytyvät mitta-arvojen mukaan.

Satunnaismuuttuja on todennäköisyysalueen mitattava funktio X: Ω → ℝ, jonka jakauma määritellään P_X(B) = P(X ∈ B) Borel-hauskille B. Satunnaismuuttujat mahdollistavat tulosten mittaamisen ja tilastollisen analyysin, kuten odotusarvon, varianssin ja kertymien tutkimisen. Todennäköisyysalueet muodostavat peruskäsitteen, jonka päälle rakentuvat tilastotiede ja stokastinen analyysi.