tiheysfunktioihin

Tiheysfunktio on käsite todennäköisyyslaskennassa, jolla kuvataan jatkuvan satunnaismuuttujan esiintymisen tiheyttä. Yhden muuttujan tapauksessa tiheysfunktio f_X täyttää f_X(x) ≥ 0 kaikilla x ja ∫_{-∞}^{∞} f_X(x) dx = 1. Todennäköisyydet lasketaan integroimalla: P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx. Monimutkaisemmissa tapauksissa, kuten X = (X1, ..., Xn), yhteisjakauman tiheysfunktio f_{X1,...,Xn}(x1,...,xn) ≥ 0 ja ∫_{R^n} f_{X1,...,Xn}(x) dx = 1.

Jakauman kertynyt funktio (CDF) F_X on F_X(x) = P(X ≤ x) = ∫_{-∞}^x f_X(t) dt, ja f_X(x) = F'_X(x) siellä missä derivaatta on olemassa. Tiheysfunktio mahdollistaa muunnokset: jos Y = g(X) on bijektio, niin f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) |d/dy g^{-1}(y)|. Monimutkaisemmassa tapauksessa f_Y(y) = f_X(x) |det J|, missä J on Jacobian muunnoksen.

Diskreetin jakauman tapauksessa käytetään todennäköisyysmassafunktiota (PMF); tiheysfunktio soveltuu suoraan vain jatkuviin jakaumiin tai niiden osiin. Esimerkkejä ovat normaalijakauma ja yhtenäisjakauma. Tiheysfunktio määrittää jakauman ominaisuudet kuten odotusarvon ja varianssin, ja se on keskeinen väline tilastollisessa inferenssissä, fysiikassa ja signaalinkäsittelyssä.