tensorprodukten

Tensorprodukten, eller tensorproduktet, är en grundläggande konstruktion inom linjär algebra och modulär algebra som förenar två vektorrum U och V över en kropp F till ett nytt vektorrum U ⊗_F V, kallat tensorprodukten av U och V. Den används för att systematisera bilinjär geometri och för att studera hur olika vektorrum samverkar under bilinjära operationer.

Den centrala egenskapen hos tensorprodukten är dess universella egenskap. Varje bilinjär kartning b: U × V → W till ett vektorrum W över F faktoriserar unik genom en linjär kartning φ: U ⊗_F V → W så att b(u,v) = φ(u ⊗ v). Denna egenskap gör det möjligt att studera bilinjära kartningar genom linjära kartningar från tensorprodukten.

Kontruktion kan beskrivas som ett kvotrum av en fri konstruktion: genererade av symboler u ⊗ v för u ∈ U och v ∈ V, med bilinjärighetsrelationer såsom (u1 + u2) ⊗ v = u1 ⊗ v + u2 ⊗ v och u ⊗ (v1 + v2) = u ⊗ v1 + u ⊗ v2 samt (λu) ⊗ v = u ⊗ (λv) = λ(u ⊗ v). Om U och V är ändligt dimensionella över F har U ⊗_F V dimension dim U · dim V. I fallet U ≅ F^m och V ≅ F^n är U ⊗_F V isomorft med F^{mn}.

Funktionellt är tensorprodukten bilinjär i båda argumenten och ger en bifunktor: om f: U → U' och g: V → V' är linjära, finns en unik linjär karta f ⊗ g: U ⊗ V → U' ⊗ V'. Denna konstruktion är associativ, upprätthållande naturliga isomorfier (U ⊗ V) ⊗ W ≅ U ⊗ (V ⊗ W).

Tillämpningar och varianter innefattar moduler över en kommutativ ring R, där tensorprodukten är viktig i Hom-tensor-relationen, samt i konstruktioner som symmetriska och exteriora produkter, och i homologisk algebra där den används i Tor- och Ext-grupper.