subespaços

Subespaço de um espaço vetorial V é um subconjunto W ⊆ V que, com as operações de V, é ele próprio um espaço vetorial. Em termos práticos, W deve conter o vetor nulo e ser fechado sob adição e multiplicação por escalares: se u, v ∈ W e c é um escalar, então u + v ∈ W e cu ∈ W. Uma forma equivalente é: W não vazio e fechado sob combinações lineares de seus vetores.

Exemplos: {0} é o subespaço trivial; V é um subespaço de si mesmo; no R^n, linhas que passam pela origem e planos que passam pela origem são subespaços.

Um subespaço pode ser descrito como span de um conjunto de vetores: W = span{v1, ..., vk}. Todo subespaço é gerado por vetores de V, e pode ser descrito por uma base. A dimensão de W, denotada dim(W), satisfaz dim(W) ≤ dim(V) quando V é finito-dimensionado; toda subspace tem uma base de vetores de W.

Contextos comuns incluem transformações lineares: o núcleo (kernel) de T: V → U é um subespaço de V, e a imagem (ou ran) de T é um subespaço de U. Em R^n, o espaço coluna de uma matriz A é um subespaço de F^m, enquanto o espaço solução de Ax = 0 é um subespaço de F^n.

Operações com subespaços: a interseção de subespaços é um subespaço; a soma W1 + W2 é o menor subespaço que contém ambos, e também é um subespaço. A teoria de subespaços é fundamental na álgebra linear, em sistemas lineares e na geometria de espaços vetoriais.