stycznej

Styczna do krzywej w punkcie P nazywana również prostą styczną, jest prostą, która dotyka krzywej w tym punkcie i ma kierunek zgodny z localnym nachyleniem krzywej. W klasycznej definicji styczna stanowi liniową przybliżenie krzywej w otoczeniu punktu P.

Dla funkcji y = f(x), różniczkownej w x0, styczna do punktu (x0, f(x0)) ma równanie y = f′(x0)(x − x0) + f(x0). Równanie to wynika z definicji pochodnej jako nachylenia prostej stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.

Dla krzywych zadanych w postaci F(x, y) = 0, jeśli w punkcie (x0, y0) spełnia się F(x0, y0) = 0 i gradient niezerowy, then równanie stycznej ma postać F_x(x0, y0)(x − x0) + F_y(x0, y0)(y − y0) = 0. W przypadkach krzywych parametrycznych r(t) = (x(t), y(t)) styczna w t0 ma kierunek r′(t0) i prowadzi do prostej przechodzącej przez P0 = r(t0).

Specjalne przypadki obejmują styczne o pionowym nachyleniu (następuje wtedy równanie x = x0) oraz punkty osobliwe, w których styczna może nie być jednoznacznie określona. Okrągowe styczne są prostopadłe do promienia łączącego punkt kontaktowy z środkiem okręgu.

Styczna odgrywa kluczową rolę w rachunku różniczkowym, geometrii analitycznej i zastosowaniach inżynieryjnych, takich jak aproksymacja lokalna czy analiza zgięć powierzchzeni.