slutvärde

Slutvärde är ett begrepp inom matematik och tekniska fält som beskriver vilket värde en tidsberoende funktion f(t) närmar sig när tiden går mot oändligheten. Begreppet används ofta i sammanhang där man analyserar ett systems långsiktiga beteende, till exempel i differentialekvationer och signalbehandling.

I samband med Laplace-transformer används slutsatsen, ofta kallad slutvärdessatsen, för att koppla det slutliga värdet av f(t) till dess Laplace-transform F(s) = L{f(t)}. Satsen säger att om f(t) är styckvis kontinuerlig på t ≥ 0, begränsad och om alla poler av F(s) ligger i vänster halvplan (re s < 0) utom möjligen en enkel pol vid s = 0, och om gränsvärdet lim t→∞ f(t) existerar, så gäller lim t→∞ f(t) = lim s→0 sF(s). Med andra ord kan man få det slutliga värdet direkt från transformen under lämpliga stabilitets- och regularitetsvillkor.

Exempel: om f(t) = 1 − e^(−t) så är F(s) = 1/s − 1/(s+1). Enligt slutsatsen blir lim t→∞ f(t) = lim s→0 sF(s) = 1. Detta överensstämmer med det faktiska slutvärdet.

Begränsningar och användningar: slutvärdesatsen används inom kontrollteori, signalbehandling och studier av långsiktiga beteenden i dynamiska system. Den kräver bland annat att systemet är stabilt och att f(t) når ett ändligt slutvärde; om f(t) oscillerar eller inte har något gränsvärde, eller om polerna ligger på imaginära axeln förvärras giltigheten eller upphör.