singularvärden

Singulärvärden är de icke-negativa talen som erhålls som kvadratrötter till eigenvärdena av A^T A för en reell m×n-matris A. De betecknas σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σr > 0, där r = rank(A). Antalet singulärvärden är min(m,n); om ranken är mindre än det minsta av m och n följer nollor bland värdena.

Singulärvärdesdekompositionen (SVD) uttrycks vanligtvis som A = U Σ V^T. U är en ortogonal matris i R^{m×m}, V är en ortogonal matris i R^{n×n}, och Σ är en m×n-matris med diagonalens singulärvärden σ1 ≥ σ2 ≥ ... ≥ σ_r ≥ 0 placerade i övre vänstra hörnet, följt av nollor. Antalet icke-noll-singulärvärden är r.

Geometriskt mäter singulärvärden hur mycket A sträcker eller komprimerar längder längs riktningarna givna av höger-singulärvektorerna. Den största singulärvärdet σ1 motsvarar operatornormen ||A||2, dvs. den största förstoringen av en enhetsvektor; de följande värdena ger motsvarande förstoring i andra riktningar.

Egenskaper och beräkning: Singulärvärdena är ≥ 0 och ordnade i fallande ordning. Antalet värden är min(m,n). Vid rankdefekt finns nollsingulärvärden. Konditionsantalet κ(A) = σ1/σ_r när alla övriga är positiva; om r < min(m,n) kan κ vara oändligt. Beräkning görs vanligtvis via SVD; alternativt genom att beräkna eigenvärdena till A^T A och ta kvadratroten.

Användningar: Singulärvärden används i PCA-liknande analyser och i låg-rank-approximationer; enligt Eckart-Young-satsen ger A_k = U_k Σ_k V_k^T den bästa rank-k-approximationen i Frobenius-norm. De används också i pseudoinversen A^+ = V Σ^+ U^T, där Σ^+ innehåller reciprocala värden för icke-nollsingulärvärden. Vanliga tillämpningar inkluderar bild- och ljudkompression samt datareducering.