Singulärvärden

Singulärvärden är en fundamental uppsättning tal som kan associeras med en matris. För en reell eller komplex matris $A$ av storlek $m \times n$, är dess singulärvärden de icke-negativa kvadratrötterna av egenvärdena till matrisen $A^T A$ (eller $A A^T$, de har samma icke-noll egenvärden). Dessa singulärvärden, ofta betecknade med $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_k$, där $k = \min(m, n)$, är ordnade i fallande ordning: $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_k \ge 0$.

Singulärvärdesuppdelningen (SVD) är en faktorisering av vilken reell eller komplex matris $A$ som helst. Den uttrycker $A$ som produkten av tre andra matriser: $A = U \Sigma V^T$ (eller $A = U \Sigma V^*$ för komplexa matriser). Matrisen $U$ är en ortogonal (eller unitär) matris vars kolumner är vänstersingulärvektorerna. Matrisen $V$ är också en ortogonal (eller unitär) matris vars kolumner är högersingulärvektorerna. Matrisen $\Sigma$ är en diagonalmatris vars diagonalelement är singulärvärdena av $A$.

Singulärvärden har många viktiga tillämpningar inom olika områden. De används i principkomponentanalys (PCA) för dimensionsreducering, i bildkomprimering, i brusreducering, i rekommendationssystem, och för att lösa linjära minstakvadratproblem. Ett nollskilt singulärvärde indikerar att motsvarande vänster- och högersingulärvektorer ligger i kolonn- respektive radrummet för matrisen. Många av de minsta singulärvärdena kan ofta kopplas till brus i data, och genom att sätta dessa till noll kan man uppnå en form av filtrering.