Singulärvärdesuppdelningen

Singulärvärdesuppdelningen, ofta förkortad SVD (Singular Value Decomposition), är en central dekompositionsteknik inom linjär algebra. Den möjliggör uppdelningen av en reell eller komplex matris i tre andra matriser. För en given matris A av storleken m x n, kan SVD uttryckas som produkten A = UΣV^T (eller A = UΣV* för komplexa matriser), där U är en ortogonal matris av storleken m x m, Σ (sigma) är en diagonalmatris av storleken m x n, och V är en ortogonal matris av storleken n x n.

Matrisen Σ innehåller de singulära värdena av A, vilka är icke-negativa reella tal ordnade i fallande ordning längs diagonalen. Dessa singulära värden är kvadratrötterna av egenvärdena till matriserna A^TA och AA^T. Kolonnerna i U, kallade vänstersingulärvektorer, är ortonormerade egenvektorer till AA^T. Kolonnerna i V, kallade högersingulärvektorer, är ortonormerade egenvektorer till A^TA.

Singulärvärdesuppdelningen har breda tillämpningar inom många områden. Inom datavetenskap används den för dimensionsreducering, brusreducering och bildkomprimering. I statistik och maskininlärning är den fundamental för tekniker som Principal Component Analysis (PCA). Inom signalbehandling och numerisk analys hjälper SVD till med att lösa linjära ekvationssystem och bestämma matrisrank. Dess robusthet och förmåga att hantera singulära och nära singulära matriser gör den till ett oumbärligt verktyg.