vänstersingulärvektorerna

Vänstersingulärvektorerna är en fundamental del av singulärvärdesuppdelningen (SVD) av en matris. Givet en reell eller komplex matris A, som har dimensionerna m x n, kan den dekomponeras som A = U Σ V^T (eller A = U Σ V^* för komplexa matriser). Här representerar U en m x m ortogonal (eller unitär) matris vars kolumner är vänstersingulärvektorerna. Σ är en m x n diagonalmatris som innehåller de singulära värdena, och V är en n x n ortogonal (eller unitär) matris vars kolumner är högersingulärvektorerna.

Vänstersingulärvektorerna är speciellt viktiga eftersom de utgör en ortonormerad bas för kolonnrummet av matrisen A. Mer precist, om A är en m x n matris, så är de icke-noll vänstersingulärvektorerna i U en ortonormerad bas för det underrum i R^m (eller C^m) som spänns upp av kolumnerna i A. De motsvarar de egenvektorer som hör till de positiva egenvärdena för matrisen A A^T.

Att beräkna vänstersingulärvektorerna är en central del i många linjäralgebra-tillämpningar, såsom principalkomponentanalys (PCA), brusreducering, och informationssökning, där de hjälper till att identifiera de viktigaste "riktningarna" eller "komponenterna" i data som representeras av matrisen A. De ger insikter i matrisens struktur och dess effekt på vektorer.