semigroupegenskapen

Semigroupegenskapen är egenskapen hos en binär operation att vara associativ. Givet en mängd S och en binär operation ⋅ på S är semigroupegenskapen uppfylld om det för alla a, b och c i S gäller (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).

Denna egenskap gör det möjligt att skriva produkter av flera element utan att ange paranteser: resultatet av a1 ⋅ a2 ⋅ … ⋅ an är oberoende av hur man grupperar faktorerna. Associativitet är således central för att definiera längre produkter och för att studera hur operationen beter sig i praktiken.

Exempel på operationer som uppfyller semigroupegenskapen är addition och multiplikation av tal, funktionell sammansättning där (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h), samt matris- eller funktionsmultiplikation som är associativ. Icke-exempel är subtraktion och division av tal, eftersom (a − b) − c inte generellt är lika med a − (b − c). Även vissa operationsregler som inte följer associativitet kan vara icke-tillåtna i en given struktur.

Semigroupegenskapen utgör kärnan i begreppet semigrupp. En mängd med en associativ binär operation kallas alltså en semigrupp när man inte kräver identitet. Om man däremot har ett identitetselement kallas strukturen en monoid, och om varje element har en invers, en grupp. Semigruppbegreppet används inom algebra och har betydelse inom teoretisk datalära och andra områden där sammansättning av operationer är central.