sannolikhetsfunktioner

Sannolikhetsfunktioner beskriver hur sannolikheten för utfallet av en stokastisk variabel är fördelad över dess värden. De sammanfattar en sannolikhetsfördelning i funktionell form och används inom sannolikhetsteori och statistik. För diskreta variabler betecknas sannolikheten att X antar värdet k ofta som p(k) = P(X = k). Dessa funktioner är alltid icke‑negativa och deras summa över alla möjliga värden är 1. För kontinuerliga variabler betecknas sannolikhetsfunktionen ofta som en täthetsfunktion f(x), där f(x) ≥ 0 och ∫_{−∞}^{∞} f(x) dx = 1. Sannolikheten att X ligger i ett intervall A ges då av ∫_A f(x) dx, medan P(X ∈ A) för en diskret variabel ges av summan över värden i A.

Sannolikhetsfunktioner hänger ihop med den kumulativa fördelningsfunktionen F(x) = P(X ≤ x). För diskreta variabler är F en stegfunktion; för kontinuerliga variabler är F kontinuerlig och differentiell där f(x) = F′(x). Förväntning och varians kan beräknas som E[X] = ∑ k k p(k) eller ∫ x f(x) dx, och Var(X) = E[X^2] − E[X]^2.

Genom parametrisering finns många vanliga fördelningar beskriva med sannolikhetsfunktioner, till exempel Bernoulli, Binomial och Poisson i det diskreta fallet samt Normal, Uniform och Exponential i det kontinuerliga. Sannolikhetsfunktioner är centrala verktyg för modellering och statistisk inferens.