populationsgennemsnittet

Populationsgennemsnittet er den gennemsnitlige værdi af en egenskab i hele populationen. Det er en parameter og beskriver det centrale niveau i populationen. I teoretiske sammenhænge betegnes det ofte med det græske bogstav μ (mu).

For en population med N enheder og værdierne x1, x2, ..., xN er populationsgennemsnittet μ givet ved μ = (1/N) ∑ xi. I sandsynlighedsteori svarer det til forventningsværdien E[X] for en stokastisk variabel X, der repræsenterer egenskaben.

I praksis kendes μ sjældent direkte; den estimeres i stedet ved stikprøvegennemsnittet x̄, som beregnes som x̄ = (1/n) ∑ xi fra en stikprøve af størrelse n. Stikprøvegennemsnittet er en upartisk estimator af μ, hvilket betyder at E[x̄] = μ.

Præcisionen af x̄ afhænger af stikprøven og populationen. Ved sampling med tilbagegivelse eller fra en stor population er Var(x̄) = σ² / n, hvor σ² er populationsvariansen. Ved sampling uden tilbagegivelse fra en endelig population er Var(x̄) = (σ² / n) × (N − n)/(N − 1). Ifølge den centrale grænseværdisætning vil x̄ være tilnærmelsesvist normalfordelt omkring μ for store n.

Anvendelse og fortolkning: Populationsgennemsnittet bruges som en grundlæggende beskrivelse af central tendens og ligger til grund for estimering, hypotesetest og konfidensintervaller. Det adskiller sig fra stikprøvegennemsnittet, som er en stikprøve-statistik. Gennemsnittet kan være følsomt over for outliers og skæve fordelinger; ved stærkt skæve data kan medianen være mere passende.