sandsynlighedsteori

Sandsynlighedsteori er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med måling og modellering af usikkerhed. Den giver formelle redskaber til at beskrive, analysere og forudsige udfald af tilfældige fænomener samt til at kvantificere risici og usikkerhed i data og beslutninger.

Den grundlæggende ramme er et sandsynlighedsrummet (Ω, F, P): Ω er prøverummet, F en sigma-algebra af begivenheder, og P en sandsynlighedsmåler, der tildeler hvert sæt en værdi i [0,1] med P(Ω)=1. En tilfældig variabel X er en målelig funktion fra Ω til de reelle tal. For en begivenhed A ∈ F gælder sandsynligheden P(A). For en tilfældig variabel gælder forventning E[X], varians Var(X) og andre momenter, der beskriver middelværdi og spredning.

Fordelingerne kan opdeles i diskrete og kontinuerte modeller. Diskrete fordelinger inkluderer Bernoulli, Binomial og Poisson; kontinuerte inkluderer Uniform, Normal og Exponential. For en given variabel X beskrives sandsynligheden ved dens sandsynlighedsfunktion eller tæthedsfunktion, og forventning samt varians kan beregnes ved summer eller integraler.

Vigtige begreber er uafhængighed, betinget sandsynlighed P(A|B)=P(A∩B)/P(B) for P(B)>0 samt Bayes’ sætning. Centrale teoremer er loven om store tal og den centrale grænseværdi sætning, som beskriver, hvordan summen af uafhængige variable henfalder mod en normalfordeling under visse betingelser. Kolmogorov formulerede sandsynlighedsteoriens axiomer i 1933.

Sandsynlighedsteori har rige historiske rødder i Cardano, Fermat, Pascal og Bernoulli og blev senere formelt etableret af Kolmogorov. Den har bred anvendelse inden for statistik, videnskabelig forskning, teknik, finansiel modellering og maskinlæring.