polünoomide

Polünoomid on algebralised avaldused, mis koosnevad muutujatest ja koefitsientidest ning mille moodustamisel kasutatakse liitmist, lahutamist, korrutamist ning muutujate mitte-negatiivsete täisarvuliste astmete kaudu esitatud ekspone. Nad on keskne objekt algorõigu ja algebra talituses ning neid käsitletakse nii ühe kui mitme muutuja korral.

Ühemuutuja polünoom p(x) on kujul p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0, kus a_i on koefitsiendid ja a_n ≠ 0. Aste on suurim x-i astend, mille koefitsient on mitte-null. Nullpolünoom on polünoom, mille kõik koefitsiendid on null. Polünoomid võivad koostoimuda erinevates koefitsientide tihedustes - tavaliselt tegeletakse reaalarvude või kompleksarvudega, kuid laiemalt võivad koefitsiendid olla mis tahes areenil määratlenud algarv. Polünoomid moodustavad ringi, kus toimingud on liitmine ja korrutamine, ning need kuuluvad valdkonda polünoomini või polünoomne ring.

Ridadel ja teisalduses on olulised omadused: juurte uurimine (p(x) = 0 lahendite leidmine) ning faktoreerimine polünoomide kujul p(x) = a_n (x − r_1) ... (x − r_n) üle keeruliste arvude korral. Fundamentaalne teoreem algebra ütleb, et iga mitte-null polünoom kompleksom koefitsientidega omab lõplikult palju juuri kompleksarvudes, arvestades korrutatust.

Polünoomid leiavad laialdast rakendust: funktsioonide ligikaudustamine ja analüüs (nt Taylor ja Maclaurin polünoomid), interpolaatsioon (Lagrange polünoomid), numbriliste meetodite alused ning mitmumuutujate polünoomid kasutusel geomeetrilistes ja füüsikalistes mudelites. Mitmujutilised polünoomid moodustavad polünoomiruumi, mida uuritakse algebras ja geomeetrias.