polynomfunksjon

En polynomfunksjon er en funksjon f: R → R som kan skrives på formen f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0, hvor a_n ≠ 0. Graden til funksjonen er n, og koeffisientene a_0, …, a_n er vanligvis reelle tall.

Domene og egenskaper: Polynomfunksjoner er definert for alle reelle tall, og de er kontinuerlige og uendelig differentiable. Den deriverte er også en polynomfunksjon av grad n−1: f'(x) = n a_n x^{n−1} + … + a_1. Antall vendepunkter er maks n−1.

Endeadferd: Som x går mot ubegrenset, følger f(x) ledende term a_n x^n. Hvis n er et partall og a_n > 0, går f(x) mot +∞ når x → ±∞; hvis n er et partall og a_n < 0, går f(x) mot −∞ i begge retninger. Hvis n er et oddetall, går f(x) mot +∞ i en retning og −∞ i den andre.

Røtter og faktorisering: Røttene til polynomfunksjonen er løsningene av f(x) = 0. Realrøtter kan ha multiplikitet, og polynomet kan faktorisere over reelle tall som et produkt av lineære faktorer (x − r) for reelle røtter og av irreduktible kvadratiske faktorer for ikke‑reelle røtter.

Spesielle tilfeller og graf: En polynomfunksjon av lav grad inkluderer lineær funksjon (grad 1) og kvadratisk funksjon (grad 2). Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabol, mens høyere grad gir mer komplekse former med opptil n−1 vendepunkter.

Anvendelser: Polynomfunksjoner brukes i modellering, kurvetilpasning og interpolasjon, samt som en enkel tilnærming av andre funksjoner (for eksempel ved Taylor- eller Maclaurin-polynomer).