pfadverknüpften

Pfadverknüpftenheit, im Fachgebiet der Topologie oft als Pfadverknüpftheit bezeichnet, ist die Eigenschaft eines topologischen Raums, dass jeder zwei Punkte durch eine stetige Abbildung eines Intervalls [0,1] verbinden lässt. Formal bedeutet dies: Für alle Punkte x und y in X existiert eine stetige Funktion γ: [0,1] → X mit γ(0) = x und γ(1) = y.

Die durch solche Pfade erzeugte Verbindungsliebe wird als Pfadverknüpfung bezeichnet. Die Vereinigung aller Punkte, die durch eine Pfadverknüpfung mit einem gegebenen Punkt verbunden sind, bildet die pfadverknüpfte Komponente dieses Punktes. Ein Raum ist pfadverknüpft, genau dann wenn er eine einzige pfadverknüpfte Komponente besitzt. Pfadverknüpfte Komponenten stimmen im Allgemeinen nicht mit den konzeptionellen Komponenten eines Raums überein, wohl aber unter bestimmten Zusatzannahmen.

Beziehung zu der allgemeinen Zusammenhanglichkeit: Jeder pfadverknüpfte Raum ist zusammenhängend. Umgekehrt gilt dies nicht in allen Räumen; in lokalkonnecteten Räumen stimmen Pfadverknüpfungsteile mit den Zusammenhangskomponenten überein. In metrischen Räumen lässt sich Pfadverknüpfung oft direkt über Pfade oder Polygonale zusammenführen.

Beispiele: Die Menge der reellen Zahlen R mit der üblichen Topologie ist pfadverknüpft, ebenso jedes offene Intervall. Der Raum, der zwei disjunkte Intervalle enthält, ist nicht pfadverknüpft. Der Topologistischer Sinusbogen ist zusammenhängend, aber nicht pfadverknüpft.

Wichtige Folgerungen: Das Bild einer pfadverknüpften Menge unter einer stetigen Abbildung ist pfadverknüpft. Unterräume müssen nicht notwendigerweise pfadverknüpft sein; die Eigenschaft ist subraumabhängig. In lokal pfadverknüpften Räumen entsprechen die Zusammenhangskomponenten den pfadverknüpften Komponenten. See also: Zusammenhang, Lokalität, simply connected.