ottimizzazioni

L'ottimizzazione è un campo che studia come scegliere tra diverse alternative al fine di massimizzare o minimizzare una funzione obiettivo, soggetta a vincoli. Le decisioni sono espresse tramite variabili controllate, e l'obiettivo è identificare la configurazione migliore, detta ottima. Le applicazioni si estendono dall'ingegneria all'economia e all'informatica, dove si cerca di allocare risorse, progettare sistemi o regolare parametri.

Si distinguono ottimizzazioni continue e discrete, non vincolate e vincolate. Nell'ottimizzazione continua si lavora su variabili reali, mentre in quella discreta le variabili assumono valori discreti (interi, booleani). L'ottimizzazione è anche globale o locale: un minimo o massimo globale è il migliore all'interno di tutto lo spazio, mentre i metodi possono fermarsi a soluzioni locali.

Metodi comuni includono l'ottimizzazione non vincolata, come la discesa del gradiente, che sfrutta la derivata della funzione obiettivo; la programmazione lineare e quadratica per problemi con vincoli lineari o quadratici; la programmazione intera per variabili intere; e approcci di ottimizzazione non lineare più generici. La dualità, i lagrangiani e le condizioni di KKT forniscono strumenti teorici per analizzare soluzioni e vincoli.

Le applicazioni sono vaste: progettazione ingegneristica e controllo, pianificazione e logistica, economia e finanza, machine learning e data science, dove si ottimizza funzioni di perdita o indicatori di performance. In problemi complessi, si ricorre a tecniche euristiche o metodi ibridi per affrontare la crescita combinatoria o la non convessità, bilanciando precisione e calcolo.

Storicamente, l'ottimizzazione si è sviluppata nelle operazioni e nella matematica applicata nel XX secolo, con importanti contributi di Kantorovich, Dantzig e altri, che hanno formalizzato la programmazione lineare e le sue estensioni.