ottimizzazione

L’ottimizzazione è lo studio di come scegliere tra diverse alternative la soluzione migliore secondo una funzione obiettivo data. In un problema di ottimizzazione si definiscono variabili decisionali, una funzione da ottimizzare e vincoli che limitano le soluzioni ammissibili. L’obiettivo può essere una minimizzazione o una massimizzazione, e la regione ammissibile è l’insieme delle soluzioni che soddisfano i vincoli.

Si distinguono diversi domini. L’ottimizzazione matematica comprende problemi continui, discreti o misti. La programmazione lineare si occupa di problemi in cui sia l’obiettivo sia i vincoli sono lineari; la programmazione non lineare tratta funzioni non lineari. Esistono versioni intere o miste (IP/MIP) per variabili che devono assumere valori interi. L’ottimizzazione combinatoria studia problemi in cui la soluzione è una scelta tra insiemi finiti di opzioni. L’ottimizzazione convessa si concentra su problemi in cui gli ottimi locali coincidono con l’ottimo globale, offrendo metodi efficienti.

I principali metodi includono approcci analitici, come le condizioni di primo ordine e i moltiplicatori di Lagrange; metodi numerici, come la discesa del gradiente e i metodi di Newton; e tecniche di programmazione, come il metodo del simplesso per la PL o i metodi interior-point per problemi non lineari. Per problemi difficili si usano algoritmi per interi, come branch-and-bound e cutting planes, insieme a euristiche e metaeuristiche (ad es. simulated annealing, algoritmi genetici).

Le applicazioni sono diffuse in ingegneria, economia, logistica, produzione, pianificazione, routing e apprendimento automatico, dove l’ottimizzazione consente di allocare risorse, ridurre costi e migliorare prestazioni. Tra le sfide vi sono la complessità computazionale, l’incertezza dei dati e la necessità di soluzioni robuste o online.