orthogonálisak

Az orthogonálisak kifejezés a matematikában és a lineáris algebrában olyan elemeket jelöl, amelyek belső szorzatuk alapján merőlegesek egymásra. Vektorok esetén két nem null vektor x és y orthogonálisak, ha x·y = 0. Egy halmaz akkor orthogonális, ha tagjai páronként merőlegesek egymásra. Az n–dimenziós vektortérben W alhálózat és W⊥ az a halmaz, amely minden w ∈ W-hez és minden v ∈ W⊥-hez vektorokat úgy alkot, hogy w·v = 0. Ily módon dim W + dim W⊥ = n.

Orthogonális és különösen ortonormális bázis olyan vektorok halmaza, amelyeket páronként merőlegesek, és ha mindegyikük egység hosszú, akkor ortonormális. A Gram–Schmidt eljárás olyan módszer, amely egy nem-ortogonális halmazból orthogonális vagy ortonormális bázist állít elő.

Orthogonális mátrix olyan négyzetes mátrix, amelynek transzponáltja is inverze, azaz Q^T Q = I. Ekkor a mátrix oszlopai és sorai is ortonormáltak, és a transzponálás megőrzi a belső szorzatot. Az ilyen mátrixok megőrzik a hosszokat és a szögeket, ezért fontosak a számításokban és a geometriában.

Különböző területeken alkalmazhatók: számítási és algoritmikus módszerekben (QR-dekompozíció, legkisebb négyzetek), jel- és képfeldolgozásban, statisztikában (ortogonális kontrasztok, PCA). Például a standard bázis e1, e2, e3 ortogonális és ortonormális vektorok.