ortonormáltak

Ortonormáltak, vagy más néven ortonormált vektorok egy vektorokból álló halmaz, amelyek teljesítik az ortogonális és normált feltételeket egyben. Ez a fogalom a lineáris algebra területén jelentkezik, és fontos szerepet játszik a vektorterek és a lineáris transzformációk vizsgálatában.

Egy vektorhalmaz ortonormált, ha minden két különböző vektorja ortogonális egymással, és minden vektor normája (hossza) egységnyi. Ortogonális vektorok azt jelzik, hogy a vektorok szögszögükben merőlegesek egymásra, azaz a bennük leírt síkok vagy térségek szögük 90 fok. Normált vektorok hossza pedig pontosan 1.

Ortonormált vektorok gyakran használatosak a koordináta-rendszerek megadásához, például a Descartes-koordináta-rendszerben az x, y és z tengelyeket leíró egységvektorok (1, 0, 0), (0, 1, 0) és (0, 0, 1) alkotják egy ortonormált vektorhalmazt. Ez a tulajdonság segíti a számításokat egyszerűsíteni, mivel a vektorok skalárszorzatát könnyen kiszámíthatjuk.

Ortonormált vektorok halmazát gyakran jelölik Q jelöléssel. Ha egy vektorhalmaz ortonormált, akkor az azt alkotó vektorok lineárisan függetlenek, és a halmaz egy ortonormált alapvető halmaz. Ez a tulajdonság hasznos a Fourier-sorok és a Fourier-transzformációk vizsgálatában is, ahol az ortonormált vektorok vagy függvények alkotják a bázisokat.

Az ortonormált vektorok halmazának egy fontos tulajdonsága, hogy bármely vektort, amely a halmaz által spannolt térben található, lineáris kombinációként fejezhetünk ki az ortonormált vektorok segítségével. Ez a tulajdonság segíti a projekciók és a Fourier-sorok hatékony számítását is.