ortonormált

Ortonormált, vagy angolul orthonormal, olyan vektorcsoport vagy vektoralak a vektortérben, amely egyszerre ortogonális és egység hosszú. Konkrétan, legyenek e1, e2, ..., en olyan vektorok, amelyekre ⟨ei, ej⟩ = 0, ha i ≠ j, és ⟨ei, ei⟩ = 1 minden i-re. Ha ezek a vektorok a teljes teret ki töltik, akkor ortonormált bázissal beszélhetünk.

Kiemelt tulajdonságok:

- Minden vektor v a térben kifejezhető v = sum_i ⟨v, ei⟩ ei, ahol a skalárszorzatok ⟨v, ei⟩ a v hosszprojekciói. Így a koordináták egyszerűen megkaphatók.

- Gram–Schmidt eljárással bármely lineárisan független halmazból ortonormált halmaz állítható elő.

- Ha egy n×n mátrix oszlopai (vagy sorai) ortonormáltak, a mátrix ortogonális, és inverseza a transzponáltja: A^{-1} = A^T.

- Hilbert-térben egy ortonormált rendszer esetén a Bessel- és a Parseval-egyenlőségek érvényesek; a Fourier-sorok és a koordinátamegoldások alapvető eszközei.

Példák:

- R^n standard bázisa, az e1, e2, ..., en ortonormált.

- Egy rotációs mátrix oszlopai ortonormáltak.

Alkalmazások:

Keljus a jel- és képfeldolgozásban, számítógépes grafikában, kvantummechanikában, és numerikus lineáris algebrában a koordináták és leképezések vizsgálatában hasznos az ortonormált szerkezet.