muunnoslaskenta

Muunnoslaskenta on matemaattinen menetelmä, jolla muuttujat tai koordinaattijärjestelmät muutetaan toisiin arvoihin tai järjestelmiin, jotta tehtävä saadaan ratkaistua tai tulkittua helpommin. Menetelmää käytetään erityisesti integraalilaskennassa, muuttujien muuntamisessa ja geometriassa sekä sovelluksissa kuten fysiikassa ja tietokonegrafiikassa.

Yhden muuttujan tapauksessa muunnos tunnetaan usein u-substituutiona: jos x = g(u) ja dx = g'(u) du, integraali ∫ f(x) dx voidaan muuntaa muotoon ∫ f(g(u)) g'(u) du. Tämä helpottaa laskemista, kun muuttujaan riippuva f on monimutkainen.

Monimutkaisemmissa tapauksissa käytetään muunnosta koordinaatistossa, esimerkiksi x = T(u). Tällöin muuttujien välinen suhde määritellään Jacobian-matriisilla J = ∂x/∂u, ja monimuuttujaisten integraalien muunnossa tarvitaan determinantti |det J|. Muunnoksen mukaan alue D kartoituu uudelle alueelle D*, ja integraali muuttuu muodossa ∫_D f(x) dx = ∫_{D*} f(x(u)) |det J| du. Oikea raja-arvojen sekä suuntauksen huomiointi on tärkeää.

Geometrian ja lineaarialgebran kontekstissa muunnoslaskenta kattaa koordinaattimuunnokset, kuten kierron, siirron, skaalauksen sekä affiiniset muunnokset. Ne esitetään usein matriisien avulla, ja tulokselle antaa merkityksen muunnoksen determinantti, joka kuvastaa tilan laajenemista tai supistumista sekä kohdistusta.

Sovelluksia ovat esimerkiksi integrointien ratkaiseminen, differentiaalilausekkeiden muuntaminen, fysiikan ja mekaniikan ongelmat, tietokonegrafiikka sekä tilastolliset muunnokset, joissa tiheysfunktio muutetaan uudelle muuttujalle. Muunnoslaskenta yhdistää analyyttisen ja geometrisen ajattelun sekä algebraiset työkalut.