integrointien

Integrointi on matematiikan osa, jossa etsitään funktion f määrittelemä kokonaisarvo. Integrointi voidaan nähdä kahdella pääasiallisella tavalla: epämääräisenä integraalina sekä määriteltynä integraalina. Epämääräinen integraali ∫ f(x) dx antaa antiderivaatan F, jolle F′(x) = f(x). Määritelty integraali ∫_a^b f(x) dx antaa lukuarvon, joka vastaa esimerkiksi alueen määrää funktion ja x-akselin välillä tai töiden arvoa sovelluksesta riippuen. Teoreettisesti peruslauseen mukaan derivaatan ja integraalin välillä on läheinen yhteys: F′ = f ja ∫ f(x) dx = F(x) + C.

Riemann-integraali on klassinen määritelty integraali, jossa f on riittävän hyvin käyttäytyvä rajojen sisällä. Lebesgue-integraali on laajempi käsite, joka mahdollistaa integroitumisen laajemmille funktioille measure-theoretisten ajatusten kautta. Epäjatkuvuuksien ja epäsäännöllisten funktioiden tapauksissa integroitavuus voidaan tarkastella näiden käsitteiden avulla.

Numerinen integrointi antaa arvion integraalista silloin, kun analyyttinen ratkaisu ei ole saatavilla. Tunnettuja menetelmiä ovat trapezoidal- ja Simpsonin säännöt sekä muut menetelmät, jotka perustuvat funktion arvojen arviointiin pienissä osissa.

Integroinnilla on laaja kirjo sovelluksia: fysiikassa työ ja energia, tilastot ja todennäköisyydet, insinöörit sekä taloustiede. Historiallisesti integraation kehittivät Newton ja Leibniz laskennassa; myöhemmin sen matematiikka kehittyi esimerkiksi Riemannin, Darbouxin ja Lebesgue’n töissä. Sanan "integrointien" genetiivimuoto on monikollinen, viitaten useisiin integraation ilmentymiin.