muunnosta

Muunnos on yleinen matemaattinen käsite, joka kuvaa säännön tai prosessin, jolla alkioista X saadaan alkioita Y. Se muodostaa kartoituksen f: X → Y, jossa jokaiselle x ∈ X on määritelty tarkalleen yksi f(x) ∈ Y. Mikäli f on bijekti, sillä on käänteinen muunnos f^-1: Y → X. Integroidun käytännön kannalta muunnoksia käytetään, kun halutaan muuttaa olioiden muoto, sijainti tai ominaisuudet toiseen tilaan.

Lineaarinen muunnos on yksi tärkeimmistä erityistapauksista. Siinä funktion ominaisuudet säilyvät: f(u+v) = f(u) + f(v) ja f(αu) = αf(u). Lineaarinen muunnos voidaan esittää matriisin avulla, jolloin f(x) = Ax, kun x on vektori ja A on soveltuvaa tilaa koskeva matriisi. Lineaariset muunnokset ovat usein bijektioita, mutta eivät kaikki ole. Lineaarisuus tuo mukanaan tavan muuttaa kokonaisuuksia säilyttäen samalla vektoriyhteenlaskun ja kertolaskun.

Geometrisissa muunnoksissa tutkitaan tilan muodonmuutoksia: siirtäminen (translations), kiertäminen, peilaus ja skaalautuminen. Nämä toiminnat voivat yhdistyä affiinimuunnoksiksi, jotka säilyttävät suorat, sekä projektiivisissa muunnoksissa tilan kokonaiskuvapinnan piirteitä.

Esimerkkejä: f(x) = 2x + 1 R → R on bijektio, mutta ei lineaarinen muunnos. f(x) = 3x on lineaarinen ja bijectio. Geometrisesti pisteen (x, y) siirtäminen f(x, y) = (x+1, y-2) on muunnos, joka siirtää koko kuvan.

Muunnoksia käytetään laajasti matematiikassa, tietojenkäsittelyssä ja grafiikassa sekä datan esittämisessä ja muuntamisessa.