Muunnoksia

Muunnoksia (transformaatioita) ovat säännöt, joiden mukaan jokaiselle joukon alkiolle määritellään toinen alkio. Matematiikassa muunnoksia tarkastellaan usein funktiona tai rakenteena, ja ne kuvaavat, miten kohde tilassa, geometriassa tai muissa yhteyksissä muuttuu.

Geometriassa yleisimpiä muunnoksia ovat siirto (translaatio), kierto (kierto), heijastus ja mittakaavan muutos (skalointi). Lisäksi ovat venytykset sekä affiinit ja projektiviiset muunnokset. Isometriset muunnokset säilyttävät etäisyydet; affiiniset muunnokset säilyttävät parallellisuuden ja suorien linjojen suhteet, mutta eivät välttämättä etäisyyksiä; samankaltaisuusmuunnokset säilyttävät muodot ja kulmat mutta voivat muuttaa kokoa. Projektiviiset muunnokset vaikuttavat kuvien projektioon ja pisteiden järjestykseen. Useimmat muunnokset voidaan esittää matriiseina ja homogeenisina koordinaatteina, mikä helpottaa niiden yhdistämistä ja käänteisten muunnosten löytämistä.

Matematiikassa muunnos f on kuva f: X → Y. Kun X = Y = R^n, lineaarinen muunnos vastaa matriisia A siten, että f(x) = Ax. Affiininen muunnos on muunnos, jossa f(x) = Ax + b. Monet muunnokset muodostavat ryhmiä, ja koosteesta saadaan aina uusi muunnos; käänteinen muunnos on olemassa, jos muunnos on bijektio. Näitä rakenteita käytetään laajasti geometrian, tietokonegrafiikan ja robotiikan sovelluksissa sekä datan ja signaalien muuntamisessa.