morphismeja

Morfismeja ovat olioiden välisten nuolia kategoriassa, jotka kuvaavat rakennepreserveviä karttoja. Eri matemaattiset kontekstit määrittelevät morfismeille erilaiset säilytettävät ominaisuudet: ryhmähomomorfismit, jatkuvat kartoitukset topologisissa tiloissa, lineaariset kartoitukset vektori- tai moduulitiloissa sekä joukkojen väliset funktiot. Morfismeilla on domain ja codomain: f: A → B.

Käytännössä morfismeja yhdistetään kompositiolla: jos f: A → B ja g: B → C, niin g ∘ f: A → C on morfismi. Jokaiselle oliolle A kuuluu identtinen morfismi id_A: A → A. Kompositio on assosiatiivista, ja identiteetti toimii yksikkönä.

Isomorfismi on morfismi, jolla on kääntäjä; löytyy g: B → A siten, että g ∘ f = id_A ja f ∘ g = id_B. Monomorfismi on vasemman kertomisen ominaisuus ja epimorfismi oikean kertomisen ominaisuus; näiden tarkka syntaksi voi vaihdella kategorian mukaan, mutta ne vastaavat käytännössä injektiota ja surjektioita.

Monia morfismeja tutkimettaessa huomioidaan ytimien ja kuvan kaltaiset rakenteet: kernel (ytin) ja image (kuva), sekä cokernelit ja factorisaatiot auttavat kuvaamaan morfismien vaikutuksia.

Funktorit siirtävät sekä olioita että morfismeja toiseen kategorialle ja säilyttävät identiteetit sekä komposition. Luonnolliset muunnokset kuvaavat, miten eri funktorit voivat liittyä toisiinsa. Morfismeja tarkastelemalla kategoriateoreettinen lähestymistapa antaa yleisen kehyksen rakenteiden välisille suhteille.