Morfismeja

Morfismeja ovat kahden olion A ja B väliset rakenteen säilyttävät kartoitukset. Merkitään f: A → B. Morfismi kuvastaa sitä, miten A:n rakennetta vastataan B:hen siten, että määriteltyisiin operaatioihin liittyvät säännöt säilyvät.

Erilaiset rakenteet määrittelevät, mitä morfismissa on pakko säilyttää. Joukkojen tapauksessa morfismi on yleinen funktio. Ryhmien, renkaiden ja vektoriavaruuksien morfismit puolestaan säilyttävät vastaavat operatiiviset säännöt: ryhmässä f(xy)=f(x)f(y), renkaassa f(a+b)=f(a)+f(b) ja f(ab)=f(a)f(b), vektoriavaruuksissa lisäksi skalaari-kertolaskun. Topologiassa morfismi on jatkuva kuvio, joka säilyttää avaruuden topologisen rakenteen. Kategorian näkökulmassa morfismi on aina nuoli kahden olion välillä, ja koostaminen tekee kokonaiskatkosta uuden morfismin; identiteettikuvaukset ovat jokaisen olion omia itsensä paluutmuotoja.

Monet morfismit ovat myös erikoistyyppejä. Monomorfismi (vasemmalta käännettävissä erottelussa) on kartoitus, jolla samanlaisten lähtötilanteiden tulokset erotetaan erikseen; esimerkkinä joukkoihin sijoittuva injektiivinen funktio. Epimorfismi (oikealta käänteisesti) on kartoitus, jonka vaikutus peittää kohdejoukon riittävän hyvin. Isomorfismi on sekä monomorfismi että epimorfismi, ja sillä on käänteinen morfismi; se kuvaa rakenneosien välistä täydellistä vastaavuutta. Endomorfismi on omaan olioon A suunnattu morfismi, automorfismi on olion itseensä liittyvä isomorfismi.

Morfismeja käytetään laajasti: ne kuvaavat rakenteiden välisiä suhteita, mahdollistavat vastineiden vertailun ja oikeudenmukaisen yhteenlaskun sekä toimivat perustana funktioille, jolloin voidaan puhua esimerkiksi funktioiden kategoriasta tai algebrallisten rakenteiden homomorphismeista.