midpuntenstelling

Midpuntenstelling is een basisstelling uit de vlakke meetkunde. In elke driehoek ABC verbindt het lijnstuk dat de midpunten van twee zijden trekt, en dit lijnstuk is parallel aan de derde zijde en precies half zo lang als die zijde.

Formele uitspraak: Laat D het middenpunt zijn van AB en E het middenpunt van AC in driehoek ABC. Dan is DE ∥ BC en DE = BC/2. Een veelgebruikt gevolg is dat het driehoek gevormd door de drie midpunten (D, E en het midpoint van BC, noemen we F) gelijkvormig is aan ABC met factoren 1/2. Hierdoor zijn de zijden van DEF halves van de overeenkomstige zijden van ABC en bedraagt het gebied van DEF één vierde van het gebied van ABC.

Bewijs op景vat: AD = AB/2 en AE = AC/2, en ∠DAE = ∠BAC omdat D op AB en E op AC liggen. De twee zijdenverhoudingen AD/AB = AE/AC = 1/2 samen met de gelijkgenomen ingesloten hoek ∠DAE = ∠BAC geven overeenkomst via SAS, wat leidt tot DE ∥ BC en DE = BC/2.

Toepassingen en verwante concepten: De midpuntenstelling wordt veel gebruikt bij constructies en bij het aantonen van parallellismen en schaalverhoudingen in driehoeken. Een belangrijke corolaar is dat de driehoek gevormd door de midpunten van de zijden altijd een halfgrote, gelijkvormige versie van de originele driehoek is. De stelling onderstreept ook de rol van midpunten bij plannen voor centroiden en medians in meetkunde.