lisomorfismo

Lisomorfismo, também conhecido como isomorfismo, é um conceito central na matemática que descreve uma relação entre estruturas que preserva sua forma estrutural. Duas estruturas A e B são consideradas lisomorfas se existe uma bijeção f: A → B que transforma as operações e relações de A nas correspondentes de B. Nesse sentido, A e B são essencialmente iguais do ponto de vista estrutural.

Em estruturas algébricas, um lisomorfismo é uma bijeção que preserva as operações: por exemplo, em grupos f(ab) = f(a)·f(b); em anéis, f(a + b) = f(a) + f(b) e f(ab) = f(a)f(b). Em espaços vetoriais, um lisomorfismo é uma aplicação linear bijetiva, isto é, um isomorfismo de espaços vetoriais. Em grafos, um lisomorfismo é uma bijeção entre os conjuntos de vértices que preserva a adjacência: vértices adjacentes em um grafo correspondem a vértices adjacentes no outro.

Propriedades importantes incluem que a relação é de equivalência: se A é lisomorfo a B e B é lisomorfo a C, então A é lisomorfo a C. A composição de lisomorfismos é um lisomorfismo, e o inverso de um lisomorfismo também é. Objetos que são lisomorfos entre si pertencem à mesma classe de lisomorfismo, permitindo a classificação de estruturas pela sua forma essencial.

Exemplos comuns incluem: o grupo cíclico de ordem n é lisomorfo a Z_n; qualquer espaço vetorial de dimensão n sobre um mesmo corpo é lisomorfo a K^n. Autosmorfismos são lisomorfismos de uma estrutura para si mesma.