linearizzazioni

Le linearizzazioni indicano l'insieme di tecniche utilizzate per approssimare sistemi o funzioni non lineari con modelli lineari locali. In ambito matematico e ingegneristico la linearizzazione più comune è l'espansione di Taylor al primo ordine: per una funzione f(x) intorno a x0 si ottiene f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x − x0). Per sistemi a più variabili si usa la matrice Jacobiana calcolata in un punto di equilibrio, ottenendo un sistema lineare che descrive il comportamento locale.

Le linearizzazioni sono strumenti fondamentali per l'analisi della stabilità, per la progettazione di controllori e per la semplificazione di problemi di ottimizzazione. Permettono di applicare tecniche lineari consolidate (analisi spettrale, teoria del controllo lineare) a modelli originariamente non lineari, facilitando simulazioni e progettazioni ingegneristiche.

Tra le varianti esistono linearizzazioni locali (intorno a uno stato operativo), linearizzazione di ingresso-uscita e tecniche più sofisticate come la linearizzazione tramite feedback (exact/input-output linearization) o la linearizzazione di Carleman, che cerca di rappresentare una dinamica non lineare mediante una serie di sistemi lineari di ordine crescente.

Le limitazioni principali derivano dal fatto che la validità è generalmente locale: l'approssimazione può diventare inaccurata lontano dal punto di espansione e non cattura effetti non lineari di ordine superiore. Per sistemi fortemente non lineari possono essere necessari modelli non lineari o approcci di controllo robusto.