linearizzazione

La linearizzazione è una procedura utilizzata in matematica e nelle scienze applicate per approssimare un modello non lineare con uno lineare nelle vicinanze di un punto di interesse, tipicamente un punto di equilibrio o una soluzione stimata. L’idea consiste nel considerare una piccola perturbazione intorno al punto scelto e descrivere la variazione mediante una funzione lineare, che è più semplice da analizzare e da controllare.

In forma matematica univariata, se si ha una funzione f, la linearizzazione attorno a x0 è data da f(x) ≈ f(x0) + f′(x0)(x−x0). In contesti multivariati si usa la trasformazione f(x) ≈ f(x0) + Jf(x0)(x−x0), dove Jf(x0) è la matrice jacobiana, contenente le derivate parziali valutate in x0. Per i sistemi dinamici descritti da ẋ = f(x), la linearizzazione fornisce un modello lineare ẋ ≈ A(x−x0) con A = Jf(x0). Se x0 è un equilibrio, f(x0)=0 e l’analisi della stabilità si basa sugli autovalori di A.

La linearizzazione è ampiamente impiegata nell’analisi di stabilità, nel controllo automatico, nella stima di parametri e nella risoluzione numerica di sistemi non lineari tramite metodi iterativi basati su approssimazioni lineari (ad es. metodo di Newton). Tuttavia ha validità locale: le buone approssimazioni si ottengono solo vicine al punto di linearizzazione e comportamenti intrinsecamente non lineari possono non essere catturati. Per situazioni complesse si usano forme avanzate come i normal forms o approcci non lineari multipli.