lineaarijärjestelmiin

Lineaarijärjestelmä on matemaattinen malli, jonka vaste noudattaa lineaarisuutta sekä usein aikainvarianttiutta. Tämä tarkoittaa, että järjestelmän reaktiot ovat summattavissa ja skaalattavissa: jos syötteille u1 ja u2 saadaan vasteet y1 ja y2, niin (u1+u2) tuottaa y1+y2, ja if syöte skaalataan tekijällä α, vastekin skaalautuu samalla tavalla. Tällaiset järjestelmät ovat yleisiä sekä mekaniikassa että elektroniikassa, ja ne soveltuvat helposti analysoinnin ja suunnittelun perusmalliksi.

Järjestelmää voidaan kuvata tilasarjan avulla sekä jatkuva-ajan että diskreetissä ajassa. Jatkuva-aikaisessa muodossa dx/dt = Ax + Bu, y = Cx + Du. Diskreetissä ajassa x[k+1] = Ax[k] + Bu[k], y[k] = Cx[k] + Du[k]. Näissä A, B, C ja D ovat järjestelmän tilasta ja syötteestä riippuvia matriiseja, jotka määrittävät dynamiikan ja vasteen.

Lineaarinen aikainvariantti (LTI) järjestelmä on erityisen hyvin tutkittu: sen taajuusvaste voidaan kuvata siirtofunktiolla G(s) = Y(s)/U(s) = C(sI − A)^{-1}B + D. Impulsiivinen vaste h(t) sekä kokonaisvaste saadaan vastaavasti. Vakavuusongelmat ratkaistaan tarkastelemalla A:n eigenarvoja: jatkuvassa ajassa järjestelmä on vakaa, kun kaikkien eigenarvojen reaali osa on negatiivinen; diskreetissä ajassa vakaus saadaan, kun kaikki eigenarvot sijaitsevat yksikköalueen sisäpuolella.

Tärkeimmät lisäominaisuudet ovat controllability- ja observability-kysymykset: voiko järjestelmää ohjata tai tilat päätellä ulostulon perusteella. Näitä käsitteitä käytetään Kalman-suunnittelun ja tilatason estimoinnin perusperiaatteina. Esimerkkejä ovat RC- ja RLC-piirit sekä massamäntäjarru, joita käytetään laitteissa ja robotiikassa.

Lineaarijärjestelmät toimivat hyödyllisenä perusmallina sekä analyysissä että suunnittelussa, vaikka käytännön järjestelmät voivat poiketa suoraviivaisesti lineaarisuudesta ja vaativat paikallista linearisaatiota.