kovarianssilla

Kovarianssi on tilastollinen mitta kahden satunnaisen muuttujan yhteisestä vaihtelusta. Se kuvaa, miten muuttujat liikkuvat toistensa mukana ja kuinka vahvasti niiden arvot ovat toisiinsa riippuvaisia.

Populaatiokovarianssi Cov(X,Y) määritellään odotusarvon avulla: Cov(X,Y) = E[(X − μ_X)(Y − μ_Y)], missä μ_X ja μ_Y ovat X:n ja Y:n odotusarvoja. Määritelmä voidaan soveltaa myös diskreetteille jakaumille käytännön summana: Cov(X,Y) = Σ_i Σ_j (x_i − μ_X)(y_j − μ_Y) P(X = x_i, Y = y_j). Covariance voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla; nolla kovarianssi viittaa siihen, että muuttujat eivät yhteistuotannollisesti vaihtele.

Näytteellinen kovarianssi s_xy kuvaa populaatiokovarianssia arvoista x_1, ..., x_n ja y_1, ..., y_n: s_xy = Σ_i (x_i − x̄)(y_i − ȳ) / (n − 1), jossa x̄ ja ȳ ovat näytteiden keskiarvoja. Tämä arvio on käytännössä yleisin tapa tutkia kahden muuttujan yhteisvaihtelua datasta.

Kovarianssi ei ole standardoitu mitta. Sen merkitys riippuu muuttujien yksikköistä, joten eksakti arvo voi olla vaikeasti tulkittavissa verrattuna toisiin pareihin. Korrelaatio korvaa tämän standardoimalla kovarianssin: Corr(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ_X σ_Y). Covariaatiosta riippuvaa tulkintaa on syytä harkita erityisesti, kun muuttujien mittakaavat tai yksiköt muuttuvat.

Käytännössä kovarianssia hyödynnetään muun muassa rahoitusportfolion riskin estimoinnissa, tilastollisessa mallintamisessa ja signaalinkäsittelyssä. Sen rajoituksena on herkkyys mittakaavalle sekä poikkeaville arvoille, ja se ei yksin ratkaise riippuvuuden luonnetta, mikä voi vaatia lisämenetelmiä kuten korrelaatiota tai riippuvuusanalyysiä.