jaotusfunktsioonid

Jaotusfunktsioonid on fundamentaalsed tööriistad tõenäosusteoorias, mis kirjeldavad juhusliku suuruse jaotust. Ühemuutuja korral on jaotusfunktsioon F_X definitsioonil: F_X(x) = P(X ≤ x), mis on funktsioon realidel ja väärtustega vahemikus [0, 1]. Mitme suure korral, nt x = (x1, ..., xn), on jaotuse funktsioon F_X(x) = P(X1 ≤ x1, ..., Xn ≤ xn).

Olulised omadused. Jaotusfunktsioonid on mitteaskovad (ei vähene), paremättese lõigul (parem-kriity). Neil on piirid: lim_{x→-∞} F_X(x) = 0 ja lim_{x→∞} F_X(x) = 1. Iga jaotusfunktsioon vastab unikaalsele tõenäosusjaotusele ja iga jaotuse puhul on olemas vastav F_X.

Seos tiheduste ja massidega. Kui juhuslikul X on tihedus f(x), siis F_X(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt. Kui X on diskreetne jaotusega massifunktsiooniga p(k), siis F_X(x) = Σ_{k ≤ x} p(k). Valikuline on ka segajao: F_X võib sisaldada nii pidevaid kui ka diskreete komponente.

Tõenäosuus välistest vahemikest. Aritmeetika P(a < X ≤ b) = F_X(b) − F_X(a). Jaotusfunktsiooni abil saab leida diskontinuitäepad ja masside suurused: P(X = x) = F_X(x) − lim_{t↑x} F_X(t).

Kõrgemad dimensioonid ja kvantifitseerimine. Multivarantse jaotuse korral F(x1, ..., xn) kirjeldab kõigi komponentide ühisjaotust. Marginaalid leitakse limitide abil: F_X1(x1) = lim_{x2→∞} ... lim_{xn→∞} F(x1, ..., xn). Quantiilfunktsioon F^{-1}(p) = inf{x : F(x) ≥ p} kasutatakse olulisel kohal tõenäosuste jaotuste kirjeldamisel ja simuleerimisel.

Jaotusfunktsioonid on seega keskne tööriist, mis kirjeldab, kuidas tõenäosus jaotub sõltuvalt väärtusest ning võimaldab arvutada tõenäosusi ja kvantile.