hypervlak

Een hypervlak is in n-dimensionale ruimte de verzameling van alle punten x in R^n die voldoen aan een lineaire vergelijking w^T x = b, met w ≠ 0 en b ∈ R. De vector w heet de normaalvector van het hypervlak en bepaalt de richting loodrecht op het vlak; de waarde b shifting het vlak langs die normaal. Het hypervlak heeft dimensie n−1, en kan worden gezien als een affiene subruimte van R^n.

Geometrisch gezien is een hypervlak in drie dimensies een vlak, en in twee dimensies een lijn. Voor elk punt p geldt: als p op het vlak ligt, dan voldoet w^T p = b. De afstand van een willekeurig punt p aan het hypervlak wordt gegeven door de formule afstand(p, H) = |w^T p − b| / ||w||.

Een hypervlak kan ook worden beschreven als H = { x ∈ R^n | w^T x + b = 0 }; de twee formuleringen zijn equivalent met een geschikte keuze van de constanten. De normalisatie van w maakt het mogelijk om afstanden en combinaties van punten intuïtief te begrijpen.

Toepassingen komen veel voor in wiskunde en informatietechnologie. In machine learning fungeert een hypervlak vaak als scheidingsgrens in lineaire classificatieproblemen. Voorbeelden zijn het perceptron en support-vector machines, die streven naar een hypervlak dat twee klassen scheidt met een maximale marge. Ook logistieke regressie kan via een lineaire beslissingsgrens worden geïnterpreteerd in termen van een hypervlak.