fejlvektorer

Fejlvektorer er vektorer, der kvantificerer fejl eller afvigelse mellem en ukendt sand tilstand og dens estimator eller mellem observerede og forudsagte værdier i vektorform. Ofte skrives fejlvektoren som e = x − x̂, hvor x er den sande tilstand, og x̂ er en skønnet tilstand. Da den sande tilstand ofte er ukendt, bruges fejlvektoren i praksis primært som et teoretisk værktøj eller gennem afledte residualer.

I lineære ligningssystemer opstår fejlvektorer i residualen r. Når man løser Ax = b og x̂ er en løsning, er r = b − A x̂, og r = A (x − x̂) = A e. Hvis A er invertibel, kan e skrives som e = A⁻¹ r. Ved mindste kvadraters løsning minimeres normalt normen af residualen, og residualvektoren er ortogonal til kolonnerne i A.

I statistik og måleteori beskriver fejlvektoren den samlede målefejl i et vektormiljø: y = f(x) + e, hvor e er fejlvektoren med forventet gennemsnit nul og med kovarians Σ i multivariat modeller. I regressionsmodeller er fejlen e ofte defineret som e = y − Xβ̂ og beskriver afvigelsen mellem de observerede værdier og de forudsagte værdier.

I numerisk analyse omfatter fejlvektorer rundings- og afkortningsfejl, der opstår ved beregninger i finite-precision arithmetic. Fejlvektorer bruges til at vurdere stabilitet og nøjagtighed af algoritmer og til at analysere fejlspredning gennem beregninger.

Anvendelserne af fejlvækorer inkluderer måling af estimationens kvalitet, design af mere pålidelige algoritmer og udvikling af metoder til at reducere fejl gennem bedre modellering, conditioning eller afhjælpningsteknikker.