fejlvektoren

Fejlvektoren, i matematik og statistik kendt som the error or residual vector, er en vektor der samler de enkelte afvigelser mellem observerede værdier og tilsvarende modelprediktioner eller sande værdier. Værdierne i fejlvektoren angiver størrelsen og retningen af fejlen i hver komponent.

I lineær regression defineres fejllevektoren ofte som e = y − ŷ, hvor y er de observerede værdier og ŷ = Xβ̂ er de forudsagte værdier baseret på den estimerede model. Når modellen udføres som almindelig mindste kvadraters regression, reduceres summen af kvadrerede fejl, dvs. fejlsummen e^T e, til minimum. Egenskaben at residualvektoren e er ortogonal til kolonnerne i designmatricen X (e^T X = 0) følger af normal læsning af mindste kvadraters princip.

I numerisk lineær algebra bruges fejllevektoren r = b − Ax̂ til at måle, hvor godt et tilnærmet løsning x̂ opfylder det lineære system Ax = b. Jo mindre norm af r, desto bedre passer løsningen til systemet. Begrebet forward error og backward error anvendes også: forward error er forskellen mellem den estimerede løsning og den sande løsning, mens backward error vurderer, hvor meget systemet skulle ændres for at tilnærmelsen præcis opfylder det oprindelige problem.

Fejlvektorer anvendes bredt til modelvurdering, diagnosticering af afvigelser og validering af numeriske metoder. De giver et simpelt mål for hvor tæt en løsning eller model stemmer overens med observerede data eller ønskede egenskaber.